Simulação de Filtros Digitais

23/07/2017 18:54

Introdução

O projeto de filtros analógicos sempre foi uma das formas mais simples e rápida de se filtrar ruídos dos sinais de interesse, porém quando a ordem do filtro começa à se elevar tais filtros toram-se inviáveis. É nesse contexto que o projeto de filtros digitais torna-se de grande utilidade. Dessa forma o presente trabalho visa realizar a simulação de filtros digitais através de técnicas de discretização de sinais.

Implementação

Tendo toda a teoria de discretização de sinais contínuos, agora pretende-se aplica-la na implementação de filtros discretos.

Com o objetivo de visualizar o funcionamento dos filtros propostos, os mesmos serão simulados no software PSIM, da Powersim Incorporation, e para auxiliar na discretização dos filtros será também utilizado o software Matlab, da MathWorks.

A Figura 1 demonstra o circuito a ser simulado para os filtros propostos.

Figura 1. Circuito Para Simulação dos Filtros Discretizados.

Agora passa-se às simulações dos filtros.

Filtro Passa Baixas

O primeiro filtro a ser avaliado será o filtro passa baixas de primeira ordem, representado no domínio da frequência por:

Onde w_c representa a frequência de corte, em rad/s, do filtro passa baixas. Os parâmetros considerados no projeto do filtro passa baixas são:

f_s = 40 kHz, frequência de amostragem;
f_c = 1 kHz, frequência de corte do filtro;
T_s = 25 us, período de amostragem.

Para a simulação do filtro, a discretização será realizada utilizando o Método de Tustin também conhecido como Método Bilateral e será implementado utilizando-se a Forma Direta 1. Assim tem-se:

Com isso, pode-se obter a função de transferência do filtro passa baixas do domínio de Z substituindo 2 em 1, como segue:

multiplicando por Z^(-1) e normalizando tem-se:

A função de transferência discretizada também pode ser representada da seguinte forma:

onde M e N é a ordem do filtro.

Considerando a₀ = 1, pode-se simplificar 5:

Para o filtro passa baixas, tem-se:

Assim de 7 pode-se calcular os valores dos índices como segue:

A Figura 2 mostra as formas de ondas do sinal de entrada V_in, da amostragem do sinal (V_sample) e do sinal filtrado (V_filter).

Figura 2. Sinais de Entrada, Amostragem e Filtrado Para Filtro Passa Baixas.

É possível verificar que o sinal de amostragem (V_sample) está atrasado em 25 us do sinal de entrada (V_in) e, também, que há uma grande atenuação do sinal de entrada de 5 kHz (V2).

Filtro Passa Faixa

O próximo filtro a ser analisado será o filtro passa faixa de segunda ordem, representado no domínio da frequência pela função de transferência que segue:

onde w_o é a frequência de ressonância, em rad/s, e Q é o fator que qualidade da banda de passagem do filtro.

Os seguintes parâmetros serão levados em consideração para a implementação do filtro:

f_s = 40 kHz, frequência de amostragem;
f_o= 500 Hz, frequência de corte do filtro;
Q = 10, fator de qualidade;
T_s = 25 us, período de amostragem.

Este filtro será implementado tanto na forma direta 1 como na forma direta 2.

Para a forma direta 1, tem-se a resposta impulsiva como segue:

sendo os coeficientes a₀, a₁, a₂, b₀, b₁ e b₂.

Os coeficientes são então calculados a partir do software Matlab, utilizando-se o comando bilinear, que possui a seguinte estrutura:

onde:

num é o vetor linha dos coeficientes do numerador da função de transferência em s;
den é o vetor linha dos coeficientes do denominador da função de transferência em s;
F_s é a frequência de amostragem, em Hz, do sinal;
F_o é a frequência central, em Hz, da banda de passagem do filtro;
numd é o vetor resposta dos coeficientes do numerador da função de transferência em Z;
dend é o vetor resposta dos coeficientes do denominador da função de transferência em Z.

Assim, tem-se obtido do Matlab os seguintes coeficientes:

a0 = +1;
a1 = -1.986044;
a2 = +0.992185;
b0 = +0.996092;
b1 = -1.986044;
b2 = +0.996092.

A Figura 3 mostra as formas de ondas do sinal de entrada (V_in), da amostragem do sinal (V_sample) e do sinal filtrado (V_filter), utilizados para a simulação do filtro passa faixa, implementado na forma direta 1.

Figura 3. Sinais de Entrada, Amostragem e Filtrado Para Filtro Passa Faixa na Forma Direta 1.

Nota-se que que o sinal filtrado, praticamente, só contém o sinal amostrado do sinal de entrada de 5 kHz (V2), tendo o sinal de entrada de 500 Hz (V1) próximo de todo atenuado.

A resposta impulsiva na forma direta 2 é apresentada a seguir:

Os coeficientes para a forma direta 2 são os mesmos utilizados na forma direta 1, obtidos da mesma fora através do comando bilinear do Matlab.

As formas de onda dos sinais de entrada (V_in), amostragem (V_sample) e filtrado (V_filter), para a implementação na forma direta 2, são apresentadas na Figura 4.

Figura 4. Sinais de Entrada, Amostragem e Filtrado Para Filtro Passa Faixa na Forma Direta 2.

Assim como na forma direta 1, a implementação na forma direta 2 do filtro passa faixa possui uma resposta eficiente, sendo a entrada de 500 Hz (V1), que tem o mesmo valor da frequência de ressonância para este filtro passa faixa, praticamente atenuado em sua totalidade.

Conclusão

Portanto nota-se a grande vantagem e versatilidade da aplicação de filtros digitais, mostrando que a complexidade do projeto de filtros de altíssimas ordem é a mesma que para os de baixa ordem. Assim o conhecimento das técnicas de discretização aplicadas aos filtros digitais torna-se uma ferramenta útil em aplicações onde se deseja precisão e exatidão.