Modelagem do Conversor CC/CC Boost

A modelagem matemática de um sistema viabiliza sua interpretação de forma a construir o fenômeno observado dentro de certas restrições e a modelagem de conversores estáticos não foge à regra, isto é, ela permite expressar a equação matemática que relaciona saída com a entrada de sinal e sua função de transferência, tanto para uma análise CC quanto para uma análise CA. O presente trabalho irá abordar o processo de modelagem dinâmico de um conversor elevador de tensão, o conversor Boost.  Portanto, as seções seguintes irão abordar desde a representação no espaço de estados até sua função de transferência, tanto para o instante delta T, quanto para o instante (1 - delta)T.

 

O conversor Boost é um conversor CC/CC elevador de tensão, sendo que seu funcionamento se baseia no ciclo de trabalho delta da chave de controle S. A Figura 1 exibe o modelo de um conversor Boost básico. Ao analisar o circuito nota-se que de acordo com o estado da chave S haverá abordagens diferentes, neste caso específico será levado em consideração o conversor atuando em Modo de Condução Contínua, assim seu funcionamento se dá em dois instantes, o primeiro com a chave S conduzindo corrente elétrica e o segundo com o diodo D conduzindo corrente elétrica.

Figura 1. Circuito do conversor CC/CC Boost a ser modelado.

 

Ao analisar o instante em que a chave S entra em condução, o circuito da Figura 1 reduz-se no circuito da Figura 2.

Figura 2. Circuito do conversor CC/CC Boost para o instante delta T.

 

O primeiro passo a ser realizado é a extrações de equações linearmente independentes:

Já para  o instante de condução do diodo D o circuito da Figura 1 comporta-se como demonstrado no circuito da Figura 3.

Figura 3. Circuito do conversor CC/CC Boost para o instante (1 - \delta)T.

Para esse caso as equações extraídas são:

Com isso temos a seguinte representação matricial:

 

O próximo passo a ser executado é a mediação das equações 4 e 9 e das equações 5 e 10. Para tal multiplica-se a equação no espaço do tempo pelo seu ciclo de trabalho, soma-se a outra equação, já multiplicada pelo ciclo de trabalho, e divide-se pelo período total do ciclo. Logo tem-se:

 

Onde:

Considerando as equações 15 e 16, simplifica-se as equações 11 e12 como segue:

Estando mediadas e simplificadas as equações no espaço de estados deve-se agora levar em consideração os valores constantes e alternados dos termos variáveis no tempo. Assim define-se:

Substituindo as equações 19, 20 e 21 nas equações 17 e 18, obtém-se:

Como X é um vetor de constantes, tem-se que a derivada "X." é igual a zero.

Separando as equações 22 e 23 em suas partes contínuas e alternadas temos:

Define-se também:

Substituindo 28 em 24 e 25, tem-se:

 

Agora Substitui-se 31 na equação 26:

Agora substitui-se 15, 16 e 34 em 32 tem-se:

 

Passa-se agora a análise das componentes alternadas do modelo. Esta análise tem como objetivo encontrar a função de transferência do modelo de pequenos sinais. Aqui considera-se apenas os termos onde somente há apenas um elemento alternado. Assim, serão desconsiderados os termos (A₁ - A₂ )x~d~.Desta forma temos:

Aplicando Transformada de Laplace em 36 e em 27, tem-se:

Substituindo 37 em 38, obtém-se:

Encontra-se a expressão T_p substituindo-se 13, 14, 16, 40 e 41 em 39:

A Figura 4 representa a resposta dinâmica do conversor Boost em relação a variação da tensão de entrada v_i ou a variação do ciclo de trabalho delta, isto é, conversor operando em MCC.

Figura 4. Diagrama de Bode do conversor elevador de tensão.

 

Portanto através da abstração matemática do comportamento elétrico do conversor CC/CC Boost, é possível descrever a função de transferência que rege tal sistema, possibilitando a inserção de um posterior circuito de controle do ciclo de trabalho delta para garantir a constância do sinal de saída.