Controladores Digitais

26/07/2017 23:11

Introdução

O controlador tido como base para a implementação de versão digital possui três polos e dois zeros, compensador tipo 3, os quais foram obtidos com base no método do fator k. Sua implementação física pode ser vista na Figura 1, onde os valores dos componentes integrantes do circuito são:
 
Figura 1. Circuito equivalente do compensador tipo 3.
 
  • C1 =  6,9292 nF;
  • C2 = 441,33 pF;
  • C3 = 15,287 nF;
  • R1 = 10 kOhms;
  • R2 = 23,466 kOhms;
  • R3 = 636,9097 Ohms.
De posse dos valores dos componentes eletrônicos do circuito do amplificador operacional da Figura 1, onde o sinal de erro é a diferença entre Vo e Vr, calcula-se sua função de transferência através da seguinte equação:
 
 
Com o uso do software Matlab é possível descrever o processo anterior, cujo resultado é:
 
 
Com a função de transferência em mãos, o próximo passo é a realização do processo de  discretização.
Com a função de transferência em mãos, o próximo passo é a realização do processo de  discretização.
 

Processo de Discretização

O processo de discretização é o processo pelo qual o sinal de entrada é completamente representado pelo seu valor atual e os seus valores anteriores, igualmente espaçados no tempo à uma taxa de amostragem fixa, resultando em um sinal de saída discreto no tempo. Dentre os métodos de discretização mais comumente utilizados, será implementado o método de Backward Euler. Embora o método de Backward Euler não possua uma representação tão fiel do modelo contínuo como o método de Tustin (método mais utilizado em filtros digitais), ele permite que ,por exemplo, em um modelo discretizado de um controlador PI, os controladores possam ser implementados paralelamente, isto é, o erro passa por um ramo com o controlador P e outro ramo com o controlador I, que posteriormente são somados atuar na planta.
 
Portanto ao adotar o método de Backward Euler, seu mapeamento à um período de amostragem Ts = 33 kHz pode ser representado por:
 
 
Por conseguinte basta realizar a substituição da expressão 3 na equação 2. Com a adequada substituição a função de transferência Tc tem sua representação em z da seguinte forma:
 
 
A próxima etapa consiste em normalizar todos os coeficientes em função do coeficiente que acompanha o z de maior ordem do denominador, isto é, o z3. De seguida realiza-se a multiplicação por z-3 tanto no numerador, quanto no denominador da equação. Dessa forma a equação adquire a seguinte forma:

 

Onde:

  • a0 = 12,888021780205046;
  • a1 = -21,726973083824017;
  • a2 = 9,156978616115387;
  • b0 = -1,276155866873965;
  • b1 = 0,284176825237264;
  • b2 = -0,008020958363299.
De posse desses valores a próxima etapa consiste em realizar a abstração da expressão matemática 3 para a linguagem de computação.
 

Controlador Digital

O controlador digital é criado a partir da manipulação da Equação 5 observando que z-1 representa um atraso, isto é, o valor da amostra anterior. Assim a Equação 5 pode ser abstraída em sua forma de pseudocódigo da seguinte maneira:
 
 
Onde k representa o instante atual do processo de amostragem. Portanto a Equação 6 representa o compensador tipo 3 na forma digital, a seção seguinte utilizará esta equação aplicada em conversor CC/CC Buck.
 

Simulação

A implementação prática de um controlador digital é feita com um dispositivo capaz de interpretar a Equação 6, que neste caso será representado por um bloco de linguagem C constituinte do software PSIM. A Figura 2 exibe o circuito eletrônico do conversor CC/CC Buck com o gate do Mosfet sendo controlado pelo sistema de controle digital (compensador tipo 3).
 
Figura 2. Circuito eletrônico do conversor CC/CC Buck.
 
O bloco Zero-Order-Hold(ZOH) visto na Figura 2 é utilizado para manter o valor de sua entrada constante até a próxima amostra adquirida, de acordo com a frequência de amostragem que neste caso vale 33 kHz.
 
O primeiro gráfico a ser representado exibe os sinais da tensão de saída do controlador (lei de controle) (Vcon)e da tensão da onda dente de serra (Vtri), tendo como saída a tensão de gatilho do Mosfet (Vg), Figura 3.
 
Figura 3. Sinais de tensão Vtri, Vcon e Vg  (PWM), respectivamente.
 
Já a Figura 4 exibe os sinais de tensão de entrada do conversor CC/CC Buck (Vent) e o sinal de tensão de sua saída (Vo), onde no instante 0,02 s é aplicado um degrau de tensão de 10 V no sinal de entrada Vent e observou-se o reestabelecimento do sinal de tensão de saída Vo.
 
Figura 4. Sinais de tensão Vent e Vo do conversor CC/CC Buck.
 
O valor de Vo é estabelecido pela tensão de referência VRef, vide Figura 2.
 

Conclusão

Portanto conforme o exposto neste trabalho, percebe-se que a aplicação dos controladores digitais torna-se viável desde que haja um dispositivo eletrônico que permita a implementação da expressão matemática proveniente da discretização de um compensador idealizado.

 

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